二項式定理教案

　　作為一名教學工作者，總不可避免地需要編寫教案，教案是教學活動的總的組織綱領和行動方案。我們應該怎么寫教案呢？下面是小編精心整理的二項式定理教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

　　一．課標要求：

　　1．分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理

　　通過實例，總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題；

　　2．排列與組合

　　通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題；

　　3．二項式定理

　　能用計數(shù)原理證明二項式定理； 會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。

　　二．命題走向

　　本部分內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內(nèi)容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和。

　　排列、組合不僅是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，也是高考每年必考內(nèi)容，新高考會繼續(xù)考察。

　　考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。

　　三．要點精講

　　1．排列、組合、二項式知識相互關系表

　　2．兩個基本原理

　�。�1）分類計數(shù)原理中的分類；

　　（2）分步計數(shù)原理中的分步；

　　正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。

　　3．排列

　　（1）排列定義，排列數(shù)

　�。�2）排列數(shù)公式：系 = =n·(n－1)…(n－m+1)；

　�。�3）全排列列： =n!；

　　（4）記住下列幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；

　　4．組合

　�。�1）組合的定義，排列與組合的區(qū)別；

　�。�2）組合數(shù)公式：Cnm= = ；

　�。�3）組合數(shù)的性質(zhì)

　　①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；

　　5．二項式定理

　�。�1）二項式展開公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；

　�。�2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；

　　6．二項式的應用

　�。�1）求某些多項式系數(shù)的和；

　�。�2）證明一些簡單的組合恒等式；

　　（3）證明整除性。①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；

　�。�4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：

　�、�(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。

　　四．典例解析

　　題型1：計數(shù)原理

　　例1．完成下列選擇題與填空題

　�。�1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有 種。

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　�。�2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（ ）

　　A．81 B．64 C．24 D．4

　�。�3）有四位學生參加三項不同的競賽，

　�、倜课粚W生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有 ；

　�、诿宽椄傎愔辉S有一位學生參加，則有不同的參賽方法有 ；

　　③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有 。

　　例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有 種不同的方法（用數(shù)字作答）。

　　點評：分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數(shù)學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的。

　　題型2：排列問題

　　例3．（1）（2008四川理卷13）

　　展開式中 的系數(shù)為?______ _________。

　　【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數(shù)，以及組合思想；

　�。�2）．2008湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練

　　若 n展開式中含 項的系數(shù)與含 項的系數(shù)之比為－5，則n 等于 （ ）

　　A．4 B．6 C．8 D．10

　　點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。

　　例4．（1）用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有 個（用數(shù)字作答）；

　�。�2）電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.

　　點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。

　　題型三：組合問題

　　例5．荊州市2008屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測（Ⅱ）

　�。�1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數(shù)為（C） A.3 B.6 C.12 D.18

　�。�2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ）

　　A．10種 B．20種 C．36種 D．52種

　　點評：計數(shù)原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數(shù)原理結(jié)合

　　例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有 種；

　�。�2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（ ）

　　（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種

　　點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；

　　題型4：排列、組合的綜合問題

　　例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數(shù)（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。

　　點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。

　　例8．已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。

　　點評：本題是1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有0.37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復的直線。

　　題型5：二項式定理

　　例9．（1）（2008湖北卷）

　　在 的展開式中， 的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有

　　A．3項 B．4項 C．5項 D．6項

　　（2） 的展開式中含x 的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是

　�。ˋ）0 （B）2 （C）4 （D）6

　　點評：多項式乘法的進位規(guī)則。在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令 .在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別。

　　例10． （2008湖南文13）

　　記 的展開式中第m項的系數(shù)為 ，若 ，則 =____5______.

　　題型6：二項式定理的應用

　　例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù)；

　　（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余數(shù)是多少？

　�。�3）根據(jù)下列要求的精確度，求1.025的近似值。①精確到0.01；②精確到0.001。

　　點評：（1）用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當?shù)夭鸪蓛身椫�和或之差再按二項式定理展開推得所求結(jié)論；

　　（2）用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。

　　五．思維總結(jié)

　　解排列組合應用題的基本規(guī)律

　　1．分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯(lián)合使用。

　　2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。

　　3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：

　�。�1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；

　�。�2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；

　�。�3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù)。

　　4．對解組合問題，應注意以下三點：

　　（1）對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎�，是解組合題的常用方法；

　�。�2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；

　�。�3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。

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